La science en quête du Graal électoral

 Par ChanteClac

Dans notre démocratie, le peuple français exerce sa souveraineté de façon principalement indirecte, en élisant des représentants pour une durée limitée. C’est ce que l’on appelle une démocratie représentative. L’un des représentants du peuple français est le président — ou la présidente — de la république, dont l’élection se déroule au suffrage universel direct, selon un mode de scrutin « uninominal majoritaire à deux tours ». Ce mode de scrutin a-t-il les propriétés que l’on peut attendre de lui ? Sinon, quels modes de scrutin alternatifs pourraient le surpasser ? Voyons comment des mathématiciens abordent ces questions …

Limitons-nous, pour simplifier notre analyse, à l’élection présidentielle telle qu’on la pratique en France : il s’agit de faire émerger un candidat parmi une dizaine environ, et non parmi 2 candidats comme c’est le plus souvent le cas aux États-Unis.

Quelques systèmes de vote

Des systèmes de vote utilisables lors d’une élection présidentielle, il y en a plein …

• dans les systèmes de vote dits « binaires », chaque électeur sélectionne un et un seul candidat au détriment de tous les autres;

• dans les systèmes de vote « par classement », chaque électeur classe tous les candidats par ordre de préférence;

• dans les systèmes de vote « de valeur », chaque électeur exprime la valeur qu’il donne à chaque candidat, sur une échelle.

Les systèmes binaires sont les plus simples (lors du vote et lors du dépouillement) mais aussi les plus réducteurs : l’électeur n’a pas la possibilité d’exprimer la complexité de son avis sur chacun des candidats, il doit résumer son avis en choisissant un unique bulletin. Les systèmes « par classement » et « de valeur » sont plus complexes (plus grand risque d’erreur lors du vote, dépouillement plus complexe) mais sont moins réducteurs. Dans les systèmes par classement, l’électeur a la possibilité de donner un avis relatif sur tous les candidats, mais il ne peut pas exprimer un avis absolu : par exemple, son candidat « préféré » peut en fait ne pas lui plaire du tout ! C’est dans les systèmes « de valeur » que l’électeur peut faire passer le plus finement son avis.

Le système de vote a-t-il son importance ?

Une première question se pose : le détail du système de vote est-il important ? Autrement dit, pour une liste de candidats donnée, et des électeurs ayant arrêté leurs préférences, le système de vote peut-il déterminer l’issue de l’élection ? Ou alors le candidat désigné est-il forcément le même, quel que soit le système de vote utilisé ?

La capsule vidéo ci-dessous — belge, d’où le petit accent délicieux, la carte de la Belgique en introduction et la référence à « nos voisins français » — considère une élection à la présidence des chats, avec 10000 chats électeurs et 5 chats candidats. Les électeurs se sont exprimés en utilisant un vote par classement en toute honnêteté (ils n’ont pas distordu leurs préférences véritables par stratégie, on en reparlera plus bas). L’ensemble des votes est résumé dans un tableau, qui est ensuite analysé selon 5 systèmes de vote :

• un système de vote majoritaire à un tour
• un système de vote majoritaire à deux tours (cas actuel pour l’élection présidentielle en France)
• un système de vote avec élimination d’un candidat à chaque tour (en 4 tours, donc, dans ce cas … même si en pratique, on peut simuler les 4 tours sur la base d’un seul bulletin fournissant un classement, comme c’est montré dans la vidéo, et réexpliqué dans la vidéo d’après)
• un système de vote par classement avec affectation de points  : le système de Borda ((le vainqueur est celui qui obtient le plus de points).
• un système de confrontation deux à deux des candidats : le système de Condorcet (le vainqueur est, s’il existe, celui qui l’emporte sur chacun des autres).

Que remarquez-vous ?

Comme le chat Albert — et comme Grumpy cat –, vous êtes dépités, n’est-ce pas ? Chacun des 5 candidats l’emporte avec l’un des 5 systèmes de vote envisagés … et ce n’est pas du tout évident de dire lequel des candidats mérite vraiment d’être élu. Par exemple, dans un système à la française, Max, s’il atteignait le second tour, gagnerait quel que soit son opposant. Cela semble un bon argument pour le désigner (voir plus bas le critère de Condorcet) … mais en pratique il n’atteint pas le second tour et se trouve donc éliminé.

En tout cas, nous avons la réponse à notre première question : le détail du système de vote est-il important ? Sans conteste oui, puisque toutes choses égales par ailleurs, le candidat sélectionné peut dépendre du système de vote.

Qu’attend-on d’un système de vote ?

Pour choisir un système de vote, il faut se mettre d’accord sur les propriétés que l’on en attend. On peut s’accorder assez facilement sur les propriétés suivantes :

• le système ne doit pas être trop compliqué lors du vote. Selon ce critère, les votes binaires sont préférables aux votes par valeur, eux-mêmes préférables aux votes par classement.
• le système doit permettre un dépouillement efficace. Avant l’âge de l’informatique, c’était un très fort argument en faveur des votes binaires, mais aujourd’hui, c’est moins le cas, les bulletins pouvant être passés à une moulinette numérique.

• le système doit être tel qu’un candidat qui progresse dans l’opinion ne peut que progresser dans le classement final.
• le système doit être tel que le résultat pour un candidat donné ne dépende pas de la présence ou de l’absence d’autres candidats proches de lui sur l’échiquier politique. Autrement dit, le résultat ne doit pas dépendre de la densité en candidats dans telle ou telle zone de l’échiquier politique.
• le système doit être tel que les électeurs aient intérêt à exprimer leur avis véritable, sans le distordre par stratégie. Un « calcul » que beaucoup d’entre nous, électeurs français, a eu l’occasion de faire dans sa vie est par exemple : « Je préfère le candidat A, mais je vais voter pour B qui a une chance d’aller au second tour, parce que je ne veux pas d’un second tour entre C et D ». On a appelé cette stratégie le vote utile, et on voudrait, donc, un système de vote dans lequel il n’y ait aucun intérêt à voter utile.

Bref, les deux premiers critères sont à l’avantage de notre système de vote actuel (et des autres systèmes binaires). Qu’en est-il des 3 critères suivants ? La vidéo ci-dessous vous permettra de vous faire une idée. Toute ressemblance avec des élections passées est fortuite 😉

Attention, arrêtez-vous à l’instant 15:02 ! parce qu’après ça passe à autre chose.

Alors, qu’en pensez-vous ?

Force est de constater que notre système de vote actuel ne satisfait AUCUN des 3 derniers critères :

• un candidat peut progresser dans l’opinion et régresser dans le classement final … bizarre …
• le résultat d’un candidat est fortement affecté par la densité en candidats dans sa zone de l’échiquier politique … bizarre …
• les électeurs n’ont pas intérêt à voter selon leur préférence véritable, et sont amenés à voter par stratégie … bizarre …

La simplicité (au vote et au dépouillement) est donc le seul avantage de notre système de vote ! Et ce système dysfonctionne gravement par ailleurs.

Les matheux à la rescousse

Quand on veut étudier les propriétés d’un système, ou trouver un système qui ait certaines propriétés, le réflexe à avoir est de se tourner vers les mathématiciens. C’est leur job, après tout !

Cela fait d’ailleurs un bail que des matheux s’intéressent aux systèmes de vote.

Voici la page de garde d’un travail de Nicolas de Condorcet, Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix — rien que ça ! — publié en 1785 si je ne me prends pas les pieds dans le tapis avec les chiffres romains 😉

On doit notamment à Condorcet l’identification d’un paradoxe qui n’est autre que la possibilité d’un « chifoumi » électoral (candidat A préféré à B, B préféré à C, C préféré à A, quel bazar !) et la définition d’un critère. Je rêve, il n’y a même pas de page wikipédia en français sur le critère de Condorcet ! Bref, un système de vote satisfait le critère de Condorcet s’il désigne toujours le candidat qui l’emporterait en confrontation deux à deux contre chacun des autres candidats, si toutefois ce candidat — appelé candidat de Condorcet — existe. Le mathématicien Rémi Peyre, sur le site Images des mathématiques, vous en dira plus sur l’analyse des systèmes de vote par Condorcet. Saine lecture, avec les démonstrations en option, la plupart tout à fait accessibles.

La seconde moitié du XXe siècle a vu des progrès décisifs dans l’analyse mathématique de cette question des systèmes de vote. Les premiers résultats ont été plutôt déprimants : Kenneth Arrow, premier Prix Nobel d’économie, a tué l’enthousiasme de la recherche du graal électoral, avec son théorème d’impossibilité de 1951. Gibbard et Satterthwaite, en 1973, ont enfoncé le clou. C’est tout bien expliqué ici dans le bas de la page sur Images des mathématiques, mais en deux mots :

• Arrow nous dit « qu’il n’existe pas de processus de choix social indiscutable, qui permette d’exprimer une hiérarchie des préférences cohérente pour une collectivité à partir de l’agrégation des préférences individuelles exprimées par chacun des membres de cette même collectivité. » Autrement dit, pour transformer le classement proposé par chaque votant en un classement global, il n’y a pas de méthode manifestement meilleure que les autres (nous revoilà à l’élection des chats de la vidéo belge).
• Gibbard et Satterthwaite démontrent que : « SI chaque individu de la population classe des candidats à une élection selon un ordre de préférence personnelle; SI la procédure de désignation n’élimine a priori aucun candidat; SI cette procédure est non dictatoriale; SI il y a au moins 3 candidats, ALORS la procédure de désignation est manipulable, c’est-à-dire qu’il existe un votant qui peut améliorer le classement final de son candidat préféré en ne votant pas selon ses véritables préférences. »

Jusqu’ici, les matheux nous ont surtout ôté tout espoir de trouver le système de vote de nos rêves ! C’est sans compter sur la créativité de leurs successeurs, qui passe par la levée de certaines hypothèses des théorèmes d’Arrow et de Gibbart-Satterthwaite.

Car en effet, les résultats d’Arrow et de G.-S. ne valent que pour des systèmes électoraux par classement (le cas des systèmes binaires était déjà identifié comme irrécupérable lors de leurs travaux). Qu’en est-il des systèmes de vote de valeur ?

Ne votez pas … jugez !

La formule est empruntée (je ne sais plus trop où … ah si ! c’est le nom d’un article de Pour la science sur ce sujet), mais elle résume bien l’essence d’un système de vote de valeur. On ne donne pas son vote, on donne son jugement sur chacun des candidats.

Des systèmes de vote de valeur, on peut en inventer plein … le vote par approbation  ou le vote par note par exemple.

Parmi les systèmes de vote de valeur, il en est un qui flirte avec l’idéal désigné plus haut : il est relativement simple lors du vote (moins qu’un vote binaire ou qu’un vote par approbation, mais plus qu’un vote par classement), il est assez complexe à dépouiller (mais ce n’est plus insurmontable à l’ère numérique), il satisfait 2 des 3 derniers de nos critères (progrès dans l’opinion => progrès dans le classement, insensibilité à la densité de candidats sur l’échiquier électoral) et il satisfait partiellement le dernier critère (il est peu sensible aux votes stratégiques).

Quel est ce système ? Le vote par jugement majoritaire. Comment se passe-t-il ? Vous pouvez retourner voir la fin de la vidéo, vous savez, celle dont je vous ai conseillé d’arrêter le visionnage à 15 min 02 !

Le bulletin de vote ressemble à ceci :

Il suffit d’exprimer son jugement pour chaque candidat en cochant une case par ligne, parmi les 7 valeurs prévues : excellent, très bien, bien, assez bien, passable, insuffisant, à rejeter. Si un pauvre électeur ne sait pas quoi cocher pour un candidat  — par exemple s’il ne le connaît même pas ! –, il peut s’abstenir, cela vaudra un « à rejeter » pour le candidat inconnu !

Pour dépouiller, on comptabilise le nombre de jugements de chaque type pour chaque candidat, à l’échelle du pays dans le cas d’une élection présidentielle :

Dans ce cas, par exemple, 0,7% des électeurs ont attribué une mention « excellent » à la candidate « Alice Artaud ». Si on somme les pourcentages sur une ligne, on obtient 100%. Quelques commentaires :

• Alice Artaud laisse les électeurs assez indifférents : peu la jugent excellente ou à rejeter, la plupart s’accordent sur une mention assez bien.
• Benoît Bost reçoit des mentions très bien réparties (toutes les mentions sont données par 10 à 15% des votants, sauf la mention insuffisant, donnée par 26% des votants).
• Fabrice Fuchs est très clivant : près de 30% des votants le jugent excellent ou très bien, mais 40% le jugent insuffisant ou à rejeter.

Représentons les résultats graphiquement … qui désigner ?

Eh bien, le gagnant est le candidat qui obtient la meilleure « mention majoritaire », c’est-à-dire celui ou celle dont la mention lisible sur la ligne « 50% » — tracée en jaune ci-dessus — est la meilleure. En l’occurrence, la mention majoritaire d’Alice Artaud est « Assez bien », celle de Benoît Bost aussi, celle de Chloé Caroux est « Bien », celle de Denis Durand est « Passable », celle d’Eléonore Erié est « Bien » et celle de Fabrice Fuchs est « Insuffisant ». Nous sommes donc face à un cas cas d’égalité, Chloé Caroux et Eléonore Erié ayant toutes les deux pour mention majoritaire « Bien ». On applique alors des critères secondaires que je ne vais pas détailler ici.

Bon, OK, pourquoi pas … mais d’où il sort, ce système ?

Eh bien, figurez-vous qu’il a été proposé en 2007 par deux mathématiciens, Michel Balinski et Rida Laraki. C’est de la science toute récente, donc ! Balinski a commencé à réfléchir à la chose avant l’élection présidentielle de 2002, il a bossé avec son collègue Laraki pour trouver un système qui possède les propriétés recherchées et le système du jugement majoritaire est né, avec publications scientifiques et démonstrations à l’appui. Un premier test (accès non autorisé … argh !) a eu lieu en 2007, dans 3 bureaux de vote de la ville d’Orsay (91), proche du laboratoire de recherche de Balinski et Laraki.

Pour conclure

Je vous soumets mots pour mots la conclusion des inventeurs Balinski et Laraki, donnée en 2012 ors d’une conférence au Collège de France :

 » Le jugement majoritaire choisit le candidat jugé le plus méritant par une majorité de l’électorat.

Il écarte les trois défauts majeurs du scrutin majoritaire :

• Il empêche le jeu des multiples candidatures – rajouter ou retirer des candidats ne change ni gagnant, ni classement.
• Il mesure avec précision le mérite de chaque candidat – en prenant en compte l’opinion de tout électeur sur tous les candidats – traduisant fidèlement le sentiment de l’électorat.
• Il donne à l’électeur la liberté totale d’exprimer ses opinions, l’incite à l’honnêteté et limite les manipulations. Le vote du “cœur” est “utile”.

Enfin, il permet une révolution pacifique : sans aucun candidat jugé « Passable ou mieux » par la majorité des votants, l’électorat peut exiger d’autres candidats. »

N’est-ce pas une incitation à aller voter, en ces temps d’abstention record ?

Restons curieux et écoutons nos mathématiciens !

Pour en savoir plus :

Trois articles de Rémi Peyre sur le site Images des mathématiques :

http://images.math.cnrs.fr/La-democratie-objet-d-etude.html
http://images.math.cnrs.fr/Et-le-vainqueur-du-second-tour-est.html
http://images.math.cnrs.fr/La-quete-du-Graal-electoral.html

Olivier Hudry, « Michel Balinski, « Le suffrage universel inachevé », Paris, Belin, 2004 », Mathématiques et sciences humaines [En ligne], 177 | Printemps 2007, mis en ligne le 07 mai 2007, consulté le 13 février 2017.

Rida Laraki, 2016, Réinventer la démocratie en changeant le mode de scrutin : une utopie ?

Balinski M., R. Laraki (2012). «Ne votez pas, jugez». Pour la Science.

Balinksi M., R. Laraki (2013). «Jugement Majoritaire vs Vote Majoritaire (via les Présidentielles de 2011-2012)». Revue Française d’Economie. N°4, volume XXVII, 11-44.

Balinski, M. and R. Laraki (2011) «Majority Judgment: Measuring Ranking and Electing». MIT Press.