Le vertige de l’infini

avatar-claire-small Par ChanteClac

infinite staircaseL’infini, concept fascinant s’il en est, s’invite dans nos réflexions personnelles dès notre jeune âge. De grands esprits se sont penchés sur son chevet, avec un regard de philosophe, de théologien, de physicien ou encore de mathématicien. Nous vous invitons à entrevoir la façon de penser l’infini qu’a introduite le mathématicien russe Georg Cantor en 1891 … grâce à un magnifique petit livre de littérature jeunesse.

Compter ou ne pas compter ?

Avant d’embrasser — une toute petite partie de — la logique de Cantor, imaginez que vous ayez à disposition deux collections d’objets : par exemple des billes d’une part et des cuillères d’autre part (ne me demandez pas pourquoi ce choix). Pour savoir si vous avez autant de billes que de cuillères, deux possibilités s’offrent à vous :

  • La première consiste à COMPTER les billes, à compter les cuillères, et à comparer les résultats de ces comptages. Si vous obtenez le même décompte, c’est que vous avez autant de billes que de cuillères.
  • La seconde façon consiste à associer billes et cuillères deux à deux, en posant par exemple une bille dans le creux de chaque cuillère. Constatant que toutes les cuillères sont occupées par exactement une bille, et qu’il ne reste pas de bille en rade, vous pouvez conclure que vous avez autant de billes que de cuillères, et ce SANS AVOIR EU BESOIN DE COMPTER quoi que ce soit.

Cette seconde approche revient,  pour comparer le nombre d’éléments de deux ensembles ayant bijectionun nombre fini d’éléments, à établir une correspondance dite « biunivoque » — pardon pour le gros mot — entre leur éléments . Si une telle correspondance existe, alors les deux ensembles ont le même nombre d’éléments … si deux ensembles ont le même nombre d’éléments, alors une telle correspondance existe … s’il n’existe pas de telle correspondance, alors les deux ensembles n’ont pas le même nombre d’éléments … si deux ensembles n’ont pas le même nombre d’éléments, alors il n’existe pas de telle correspondance.

Jusque là, rien de bien sorcier.

Et pour des ensembles infinis ?

220px-Georg_Cantor3 Qu’en est-il si l’on considère des ensembles ayant un nombre INFINI d’éléments , comme l’ensemble des nombres entiers qui nous servent à compter {1, 2, 3, 4 …} ? Comment comparer le nombre d’éléments de tels ensembles ? Pas question de les compter en tout cas, puisque la tâche serait sans fin.

Une idée parmi d’autres de Cantor — que voici à gauche dans sa jeunesse, le regard vers l’infini, justement — est de s’appuyer, comme pour les ensembles finis, sur l’établissement d’une correspondance biunivoque entre leurs éléments. Il finit par démontrer que tous les infinis ne se valent pas … mais nous n’irons pas ensemble jusque là.

Le mathématicien David Hilbert, contemporain de Cantor, a défendu sa vision dans un contexte plutôt hostile : « Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé« , disait Hilbert pendant que d’autres — pour ne pas citer Kronecker — raillaient que Cantor était « un charlatan des sciences » ou encore un « corrupteur de la jeunesse ». On doit notamment à Hilbert une façon très parlante de vulgariser les idées de Cantor : l’image d’un hôtel imaginaire ayant un nombre infini de chambres, numérotées à partir de 1. L’ensemble des numéros de chambres de l’hôtel {1; 2; 3; …} constitue donc un ensemble infini. L’établissement d’une correspondance biuHilbert-Hotel-Roomsnivoque entre cet ensemble et un autre (celui des « clients » de l’hôtel) revient à faire en sorte que toutes les chambres de l’hôtel soient occupées, et qu’aucun client ne soit sans chambre.

Unité de lieu : l’hôtel de Hilbert

Chat_pays_nombresDans son petit livre de littérature jeunesse Le chat au pays des nombres, le mathématicien Ivar Ekeland nous accompagne dans l’établissement de telles correspondances biunivoques en reprenant l’image de l’hôtel infini de Hilbert. Les clients de l’hôtel sont initialement les nombres entiers à partir de 1, et tout est pour le mieux dans le meilleur des mondes : chacun loge tout simplement dans la chambre qui porte son numéro : le client 1 loge dans la chambre 1, le client 2 dans la chambre 2, et ainsi de suite jusqu’à l’infini.

Mais voilà que de nouveaux clients arrivent (le zéro, les lettres de l’alphabet)… ou  partent temporairement en vacances (départ des nombres pairs par exemple), et il faut, à chaque bouleversement de l’ensemble des clients, trouver une nouvelle correspondance biunivoque entre chambres et clients. Le bouquet est atteint à la fin du livre lorsque les fractions débarquent … il semble tout d’abord parfaitement impossible de les loger toutes, et pourtant.

On sort de la lecture — et c’est votre prochain livre ! –avec comme un vertige, un vertige de satisfaction, celui d’avoir compris quelque chose d’important. Je nourris un doux rêve : qu’un projet de classe donne vie à l’histoire sous forme d’une pièce de théâtre dont les héros seraient les nombres. Il y a tant d’humour dans le texte que c’est infiniment possible !

Restez curieux, puisque c’est infiniment bon …

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